Đa thức đồng nhất là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Đa thức đồng nhất là đa thức nhiều biến trong đó mọi đơn thức thành phần đều có cùng tổng bậc bằng bậc d xác định, đảm bảo mỗi monôm thỏa f(λx)=λᵈf(x). Tính chất cốt lõi là f(λx₁,…,λxₙ)=λᵈf(x₁,…,xₙ), cho phép mở rộng lý thuyết đại số và hình học xạ ảnh qua tọa độ đồng nhất.

Định nghĩa đa thức đồng nhất

Đa thức đồng nhất (homogeneous polynomial) là đa thức trong tập hợp các biến x1,x2,,xnx_1, x_2, \dots, x_n mà mỗi đơn thức (monôm) đều có tổng bậc bằng nhau, gọi là bậc của đa thức. Cụ thể, nếu mọi monôm trong đa thức có dạng ax1i1x2i2xnina\,x_1^{i_1}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n} với i1+i2++in=di_1+i_2+\dots+i_n = d, thì đánh giá đa thức đó đồng nhất bậc dd. Định nghĩa này cho phép mở rộng lý thuyết đa thức vào không gian xạ ảnh (projective space).

Tính chất then chốt của đa thức đồng nhất là phương trình đồng nhất theo tham số λ\lambda:

f(λx1,λx2,,λxn)  =  λdf(x1,x2,,xn). f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) \;=\;\lambda^d\,f(x_1,x_2,\dots,x_n).

Định nghĩa trên khẳng định rằng, khi cùng nhân mỗi biến với một hệ số λ\lambda, giá trị của đa thức chỉ thay đổi theo lũy thừa bậc dd. Thông tin chi tiết về lý thuyết đa thức đồng nhất có thể tham khảo trên MathWorld.

Bậc và tính chất đồng nhất

Bậc (degree) của đa thức đồng nhất là số nguyên dd mà trong đó mỗi monôm đều có tổng số mũ bằng dd. Bậc đa thức phản ánh mức độ tăng trưởng của giá trị đa thức khi các biến được nhân đồng thời với một hằng số. Ví dụ, đa thức bậc 2 sẽ tăng lên gấp λ2 \lambda^2 lần khi mỗi biến nhân với λ\lambda.

Một đa thức tổng quát không đồng nhất có thể phân tách thành tổng các đa thức đồng nhất theo bậc:

f(x)=k=0mfk(x),với degfk=k, f(x)=\sum_{k=0}^m f_k(x),\quad \text{với }\deg f_k = k,

trong đó mỗi fkf_k là đa thức đồng nhất bậc kk. Phân tích này hữu ích trong nhiều bài toán đại số và hình học đại số, vì cho phép đối chiếu các thành phần cùng bậc riêng biệt.

Thuật ngữ và ký hiệu

Ký hiệu thông dụng cho tập hợp đa thức đồng nhất bậc dd trên trường F\mathbb{F}F[x1,,xn]d\mathbb{F}[x_1,\dots,x_n]_d. Trong đó:

  • F\mathbb{F} là trường cơ sở (thường là R\mathbb{R} hoặc C\mathbb{C}).
  • x1,,xnx_1,\dots,x_n là các biến.
  • Bậc đồng nhất của mỗi monôm là tổng số mũ i1++in=di_1+\dots+i_n=d.

Monôm đồng nhất (homogeneous monomial) là đơn thức x1i1xninx_1^{i_1}\dots x_n^{i_n} với i1++in=di_1+\dots+i_n=d. Đa thức đồng nhất là tổ hợp tuyến tính của các monôm đồng nhất cùng bậc.

Ví dụ minh họa

Trong hai biến x,yx,y, đa thức

f(x,y)=3x2y+5xy2 f(x,y)=3x^2y +5xy^2

là đồng nhất bậc 3 vì mỗi monôm x2yx^2yxy2xy^2 đều có tổng mũ 2+1=32+1=31+2=31+2=3. Ngược lại,

g(x,y)=x3+2x2y+y g(x,y)=x^3 +2x^2y +y

không đồng nhất vì monôm yy chỉ có bậc 1 trong khi các monôm khác bậc 3.

Đa thứcMonômBậc monômĐồng nhất?
3x²y + 5xy²x²y, xy²3, 3
x³ + 2x²y + yx³, x²y, y3, 3, 1Không
x³ +2xyz + y³x³, xyz, y³3, 3, 3

Ví dụ trong ba biến x,y,zx,y,z:

h(x,y,z)=x3+2xyz+y3 h(x,y,z)=x^3 +2xyz +y^3

đồng nhất bậc 3 vì mỗi monôm đều có tổng mũ bằng 3. Bảng trên tóm tắt các ví dụ minh họa tính đồng nhất của đa thức.

Các phép toán và cấu trúc đại số

Tổng và tích của đa thức đồng nhất giữ tính đồng nhất với bậc tương ứng. Cụ thể, nếu ff đồng nhất bậc d1d_1gg đồng nhất bậc d2d_2, thì f+gf+g đồng nhất bậc d1d_1 (khi d1=d2d_1=d_2) và fgf\cdot g đồng nhất bậc d1+d2d_1+d_2. Điều này tạo nên cấu trúc đa thức đồng nhất như một đại số có cấp độ (graded algebra).

Hệ quả quan trọng là không gian đa thức F[x1,,xn]\mathbb{F}[x_1,\dots,x_n] có thể phân tách thành tổng trực tiếp của các thành phần đồng nhất:

F[x1,,xn]  =  d=0F[x1,,xn]d. \mathbb{F}[x_1,\dots,x_n] \;=\;\bigoplus_{d=0}^\infty \mathbb{F}[x_1,\dots,x_n]_d.

Trong đó, phép nhân giữa các thành phần tuân theo quy tắc bậc cộng. Từ góc độ lý thuyết đại số, cấu trúc này là nền tảng cho các khái niệm như vành đa thức graded, module graded và vòng projective coordinate ring trong hình học đại số.

Quan hệ với định lý Euler cho hàm đồng nhất

Định lý Euler khẳng định rằng với đa thức đồng nhất ff bậc dd, tổng các đạo hàm riêng nhân với biến tương ứng thu được:

i=1nxifxi(x1,,xn)  =  df(x1,,xn). \sum_{i=1}^n x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\dots,x_n)\;=\;d\,f(x_1,\dots,x_n).

Phương trình này không chỉ cho thấy tính chất phân bố bậc của đa thức mà còn được sử dụng để kiểm tra tính đồng nhất trong các tính toán thực nghiệm. Trong hình học vi phân và giải tích đa biến, định lý Euler giúp chứng minh các bất đẳng thức đồng nhất và nghiên cứu điểm tới hạn của các hàm đồng nhất.

  • Khi ff đồng nhất bậc dd, đạo hàm Euler cho phép rút gọn hệ phương trình đạo hàm riêng.
  • Trong tối ưu hóa có ràng buộc, điều kiện Karush–Kuhn–Tucker (KKT) trên hàm Lagrangian đồng nhất có thể vận dụng định lý Euler.

Vai trò trong hình học xạ ảnh (Projective Geometry)

Trong không gian xạ ảnh Pn1\mathbb{P}^{n-1}, điểm được biểu diễn bằng tọa độ đồng nhất [x1::xn][x_1:\dots:x_n], và đa thức đồng nhất là công cụ chính để mô tả tập hợp con (variety) xạ ảnh. Đường cong hoặc mặt xạ ảnh định nghĩa bởi đa thức đồng nhất không phụ thuộc vào tỉ lệ nhân đồng loạt các tọa độ.

Ví dụ, đường cong bậc hai trong P2\mathbb{P}^2 (conic) được cho bởi phương trình đồng nhất

ax2+bxy+cy2+dxz+eyz+fz2=0, ax^2 + bxy + cy^2 + dxz + eyz + fz^2 = 0,

trong đó [x:y:z][x:y:z] là tọa độ xạ ảnh. Việc sử dụng đa thức đồng nhất giúp loại bỏ sự phân biệt giữa vô cực và hữu hạn, cho phép phân tích hình học đồng nhất và đối xứng xạ ảnh.

  • Đa đa thức đồng nhất tạo thành vành coordinate ring của variety xạ ảnh.
  • Định lý Bezout về giao điểm của đa thức đồng nhất phụ thuộc vào bậc tổng (bậc cắt).

Ứng dụng thực tiễn

Đa thức đồng nhất xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế: từ mô hình hóa sóng trong điện từ học đến tính toán lực trong cơ học continuum. Trong tối ưu hóa, bài toán tìm cực tiểu của đa thức đồng nhất có thể giải quyết thông qua giải tích Lagrange.

Trong lý thuyết invariant (bất biến dưới nhóm tuyến tính), các đa thức đồng nhất bất biến (invariant homogeneous polynomials) đóng vai trò quyết định trong phân loại hình thức nhị thức (binary forms) và mô tả đối xứng của hệ thống vật lý. Ví dụ, invariant ring của ma trận dưới phép quay SO(3) được xây dựng từ các đa thức đồng nhất trong thành phần vector.

Tính toán và triển khai trên máy tính

Nhiều phần mềm tính toán đại số toán học hỗ trợ xử lý đa thức đồng nhất:

  • SageMath: lệnh HomogeneousPolynomials cho phép tạo và thao tác đa thức đồng nhất (xem SageMath Documentation).
  • Macaulay2: package GradedRings hỗ trợ tính bậc và phân tích module graded.
  • Sympy (Python): hàm Poly với tham số homogeneous=True kiểm tra đồng nhất và tính toán phân tách bậc.
Công cụNgôn ngữChức năng chính
SageMathPythonTạo, phân tách, thao tác đa thức graded
Macaulay2Macaulay2Phân tích module, tính đồng nhất
SympyPythonKiểm tra homogeneous, expand, factor

Tài liệu tham khảo

  • Greuel, G.-M., & Pfister, G. “A Singular Introduction to Commutative Algebra.” Springer, 2002. Link.
  • Cox, D., Little, J., & O’Shea, D. “Ideals, Varieties, and Algorithms.” 4th ed., Springer, 2015.
  • Hartshorne, R. “Algebraic Geometry.” Springer, 1977.
  • SageMath Documentation. “Polynomial Rings and Graded Rings.” 2025. Link.
  • MathWorld. “Homogeneous Polynomial.” Link.

Các bài báo, nghiên cứu, công bố khoa học về chủ đề đa thức đồng nhất:

Học Tổ Chức và Cộng Đồng Thực Hành: Hướng Tới Một Quan Điểm Thống Nhất Về Làm Việc, Học Tập và Đổi Mới Dịch bởi AI
Organization Science - Tập 2 Số 1 - Trang 40-57 - 1991
Các nghiên cứu dân tộc học gần đây về thực tiễn nơi làm việc chỉ ra rằng cách mọi người thực sự làm việc thường khác biệt cơ bản so với cách các tổ chức mô tả công việc đó trong các hướng dẫn, chương trình đào tạo, sơ đồ tổ chức và mô tả công việc. Tuy nhiên, các tổ chức có xu hướng dựa vào những mô tả này trong nỗ lực hiểu và cải thiện thực tiễn công việc. Chúng tôi nghiên cứu một trong ...... hiện toàn bộ
#học tổ chức #cộng đồng thực hành #thực tiễn nơi làm việc #học tập #đổi mới #cải tiến tổ chức #mô tả công việc #dân tộc học #học tập phi chính thức #cải cách tổ chức
Thực hiện hướng dẫn dựa trên bằng chứng cho chăm sóc giảm nhẹ bệnh nhân sa sút trí tuệ bằng nghiên cứu hành động tham gia: xem xét việc thực hiện thông qua Khung Cải tiến Thống nhất (CFIR) Dịch bởi AI
Implementation Science Communications - Tập 2 Số 1 - 2021
Tóm tắt Nền tảng Tầm quan trọng của việc cung cấp chăm sóc giảm nhẹ dựa trên bằng chứng cho người mắc chứng sa sút trí tuệ ngày càng được thừa nhận là quan trọng cho kết quả của bệnh nhân. Tại Ireland, hướng dẫn dựa trên bằng chứng đã được xây dựng nhằm giải quyết các đặc điểm chính của chăm sóc giả...... hiện toàn bộ
#chăm sóc giảm nhẹ #sa sút trí tuệ #hướng dẫn dựa trên bằng chứng #khung cải tiến #nghiên cứu hành động tham gia.
CÁCH CHUYỂN DỊCH CÁC YẾU TỐ DANH HÓA ĐỘNG TỪ TRONG TIẾNG NHẬT SANG TIẾNG VIỆT
Tạp chí Nghiên cứu nước ngoài - - 2017
Bài viết này đề cập đến cách chuyển dịch các yếu tố danh hóa (YTDH) động từ trong tiếng Nhật sang tiếng Việt. Kết quả khảo sát ngữ liệu trong 06 bản dịch truyện ngắn hiện đại của Nhật Bản cho thấy, khi chuyển dịch sang tiếng Việt đối với trường hợp danh hóa cho động từ, thì ở cả câu có vị ngữ danh từ, vị ngữ tính từ, vị ngữ động từ đều có những phương thức chuyển dịch giống nhau. Đó là: (i) YTDH ...... hiện toàn bộ
#yếu tố danh hóa động từ; “No”; “Koto”; phương thức chuyển dịch
XÂY DỰNG ĐỒ THỊ TRI THỨC TỪ TÀI LIỆU KHÔNG ĐỒNG NHẤT
Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM - Tập 47 Số 05 - 2021
Trong những năm gần đây, đồ thị tri thức được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học máy tính như công cụ tìm kiếm, phân tích ngữ nghĩa và trả lời câu hỏi... Tuy nhiên, có nhiều trở ngại cho việc xây dựng đồ thị tri thức (phương pháp, dữ liệu và công cụ). Bài viết này giới thiệu một phương pháp mới để xây dựng đồ thị tri thức từ các tài liệu không đồng nhất. Chúng tôi sử dụng các phương pháp xử...... hiện toàn bộ
#Knowledge graph #Question answering #Graph databases
Đánh giá thực trạng chăm sóc hô hấp cho người bệnh thông khí nhân tạo xâm nhập tại Bệnh viện Đa khoa Thống Nhất tỉnh Đồng Nai năm 2024
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quốc tế Hồng Bàng - - Trang 109-116 - 2025
Đặt vấn đề: Viêm phổi liên quan đến máy thở (VAP) là nguyên nhân chính gây bệnh tật và tử vong tại bệnh viện ở bệnh nhân tại Đơn vị Chăm sóc Đặc biệt (ICU). Vì vậy, công việc phòng ngừa VAP được cho là công việc ưu tiên hàng đầu trong chăm sóc các bệnh nhân nặng. Mục tiêu: Đánh giá thực trạng chăm sóc hô hấp cho người bệnh thở máy xâm nhập tại Bệnh viện Đa khoa Thống Nhất - Đồng Nai năm 2024. Đối ...... hiện toàn bộ
#Thông khí nhân tạo xâm nhập #chăm sóc hô hấp #điều dưỡng viên
Đại số Boolean xiên và các biến thể phân biệt Dịch bởi AI
Springer Science and Business Media LLC - Tập 33 - Trang 387-398 - 1995
Chúng tôi nghiên cứu lớp các đại số Boolean xiên, mà cũng là các nửa kết hợp dưới thứ tự phần tử xiên tự nhiên. Những đại số này, được gọi là đại số Boolean ∩-xiên, khá phổ biến. Thật vậy, bất kỳ đại số A nào trong một biến thể phân biệt với một hằng số đều có một phép giảm đa thức đại số Boolean ∩-xiên mà các đồng nhất thức của nó trùng với các đồng nhất thức của A.
#đại số Boolean xiên #hằng số #phép giảm đa thức #biến thể phân biệt #đồng nhất thức
Phương Pháp Kiểu Chiếu Cho Các Bài Toán Bất Đẳng Thức Biến Hình Tập Giá Trị Trên Đường Thẳng Hadamard Dịch bởi AI
Mediterranean Journal of Mathematics - Tập 13 - Trang 3939-3953 - 2016
Trong bài báo này, chúng tôi phát triển một thuật toán kiểu chiếu cho các bất đẳng thức biến hình tập giá trị trên các đa tạp Hadamard. Phương pháp đề xuất được định nghĩa rõ ràng bất kể tập nghiệm của bài toán có rỗng hay không. Dưới giả định đồng nhất giả về trường vectơ cơ sở, phương pháp của chúng tôi hội tụ tới một nghiệm của bất đẳng thức biến hình tập giá trị đã cho. Các kết quả được trình ...... hiện toàn bộ
#Bất đẳng thức biến hình tập giá trị; đa tạp Hadamard; tổ hợp giả định đồng nhất; thuật toán kiểu chiếu; hội tụ.
Phân tích thực trạng tương tác thuốc trong đơn điều trị ngoại trú tại Bệnh viện Đa khoa Thống Nhất tỉnh Đồng Nai năm 2024
Tạp Chí Khoa học Trường Đại học Quốc tế Hồng Bàng - - Trang 107-114 - 2025
Đặt vấn đề: Tương tác thuốc ảnh hưởng đến sự an toàn của bệnh nhân đặc biệt mắc đa bệnh và phải sử dụng nhiều thuốc. Nghiên cứu nhằm đánh giá tỉ lệ hiện hành có ý nghĩa lâm sàng và các yếu tố nguy cơ. Đây là khảo sát hồi cứu, phân tích 642 đơn thuốc bằng các cơ sở dữ liệu tra cứu tương tác như Lexi.comp, Medscape, Drugs.comp và của Bộ Y tế - Việt Nam. Mục tiêu: Xác định tỷ lệ, mức độ nghiêm trọng ...... hiện toàn bộ
#tương tác dược lực học #tương tác dược động học #đa dụng thuốc #bệnh đồng mắc #biến cố bất lợi của thuốc (ADE)
Thiết kế và đánh giá một giao thức định tuyến không phát sóng dựa trên LQI cho mạng cảm biến di động không đồng nhất Dịch bởi AI
Wireless Networks - Tập 26 - Trang 699-721 - 2019
Trong một mạng cảm biến di động với điểm đích di động, việc chọn bước nhảy tiếp theo phụ thuộc vào vị trí hiện tại của điểm đích. Điều này đòi hỏi việc cập nhật thường xuyên các đường dẫn định tuyến trong mạng. Trong bài báo này, chỉ số chất lượng liên kết (LQI) được đo bởi cảm biến khi nhận một gói POLLING trực tiếp từ điểm đích được sử dụng để xác định vị trí tương đối của cảm biến đối với điểm ...... hiện toàn bộ
#định tuyến không phát sóng #mạng cảm biến di động #chỉ số chất lượng liên kết #LQI #giao thức định tuyến tiết kiệm năng lượng
CẢI THIỆN ĐÀO TẠO TIẾNG NHẬT CHO LAO ĐỘNG NƯỚC NGOÀI TẠI NHẬT BẢN – Từ thực trạng việc học tiếng Nhật của người lao động Việt Nam ở Nhật Bản –
Tạp chí Khoa học Đại học Đông Á - - Trang - 2025
Đề tài “Cải thiện đào tạo tiếng Nhật cho lao động nước ngoài tại Nhật Bản – Lấy thực trạng việc học tiếng Nhật của lao động nước ngoài người Việt Nam làm ví dụ” tập trung khảo sát và phân tích thực trạng đào tạo tiếng Nhật cho lao động Việt Nam tại Nhật Bản, đặc biệt là những khó khăn và rào cản ngôn ngữ ảnh hưởng đến hiệu quả công việc và khả năng hòa nhập xã hội. Nghiên cứu sử dụng kết hợp phươn...... hiện toàn bộ
#Giáo dục ngôn ngữ #chương trình đào tạo #phương pháp giảng dạy #năng lực giao tiếp #giáo dục ứng dụng
Tổng số: 34   
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4